1er corte de INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Profesora Marisol Hernández
La Investigación de Operaciones aspira determinar
la mejor solución
(óptima) para un problema de decisión con la restricción de
recursos limitados.
1.Origen de la
Investigación de Operaciones
La investigación de operaciones es una disciplina relativamente nueva, nace en Inglaterra, durante la Segunda Guerra Mundial, para asignar
recursos escasos a las operaciones militares y a las actividades
dentro de cada operación, en la forma más efectiva, para
que los administradores aplicaran el método científico a los problemas estratégicos y tácticos. Su antigüedad es de aproximadamente 70 años.
Es un conjunto de procedimientos (instrucciones), métodos y modelos que se utilizan para resolver problemas que se presentan en la administración y producción. Sus primeras aplicaciones se registran en Inglaterra, a finales de 1940, donde un equipo de ingenieros y matemáticos toma la decisión de utilizar métodos cuantitativos para resolver determinados problemas de defensa de ese país, relacionados con la asignación y manejo de recursos.
El nombre de esta disciplina apreció de manera casual, ya que el grupo de personas, que utilizaba estos métodos, se desempeñaba en un área conocida como investigación de operaciones militares, nombre que le fue asignado a los métodos y procedimientos utilizados por ellos.
La evolución de esta reciente disciplina, en el futuro se conecta a los avances de dos disciplinas, a saber, la estadística y la computación. Por lo tanto, se logra conformar una trilogía de saberes y conocimiento integrados (que se relacionan) y se constituyen en la base fundamental de la toma de decisiones (que es elegir una alternativa entre varias opciones), en numerosos holding (o corporaciones) internacionales; ; esta importancia se debe al potencial que tienen esta disciplinas en la recolección, procesamiento y análisis de información y datos.
Definición de Modelos: es un tipo de estructura que se utiliza para representar o caracterizar un objeto, una situación o un problema que se presenta en una realidad o momento determinado.
En investigación de operaciones, se utilizan dos (2) tipos de modelos: modelos matemáticos y modelos
Un modelo matemático es una estructura o forma que se elabora utilizando los siguientes elementos: letras, símbolos, números y relaciones lógicas. Esto modelos, históricamente, fundamentan aspectos tétricos en diversas disciplinas(Física, Química, ...) y para expresar, en forma sencilla, elementos o componentes conceptuales mediante fórmulas simplificadas, por ejemplo:
1. Física. V= x/t = Velocidad= espacio/tiempo
2. Contabilidad. Activo= Pasivo+Patrimonio A=Pas+Patr
3. Estadística. y = a+bx (Modelo de regresión lineal)
Z=(X - u)/r = (dato aleatorio - media )/Desviación estándar (Función estandarizada de la normal)
4. Economía. G= p.g gasto
PIB=C+I+X-M (BC)
Ejemplo de modelos matemáticos. Investigación de operaciones.
(Max)Z=X1 + X2 + X3 sujeto a restricciones A) y B)
Modelo de producción con variables de decisión (X1, X2, X3)
______________________________________________________________________________
La evolución de esta reciente disciplina, en el futuro se conecta a los avances de dos disciplinas, a saber, la estadística y la computación. Por lo tanto, se logra conformar una trilogía de saberes y conocimiento integrados (que se relacionan) y se constituyen en la base fundamental de la toma de decisiones (que es elegir una alternativa entre varias opciones), en numerosos holding (o corporaciones) internacionales; ; esta importancia se debe al potencial que tienen esta disciplinas en la recolección, procesamiento y análisis de información y datos.
Definición de Modelos: es un tipo de estructura que se utiliza para representar o caracterizar un objeto, una situación o un problema que se presenta en una realidad o momento determinado.
En investigación de operaciones, se utilizan dos (2) tipos de modelos: modelos matemáticos y modelos
Un modelo matemático es una estructura o forma que se elabora utilizando los siguientes elementos: letras, símbolos, números y relaciones lógicas. Esto modelos, históricamente, fundamentan aspectos tétricos en diversas disciplinas(Física, Química, ...) y para expresar, en forma sencilla, elementos o componentes conceptuales mediante fórmulas simplificadas, por ejemplo:
1. Física. V= x/t = Velocidad= espacio/tiempo
2. Contabilidad. Activo= Pasivo+Patrimonio A=Pas+Patr
3. Estadística. y = a+bx (Modelo de regresión lineal)
Z=(X - u)/r = (dato aleatorio - media )/Desviación estándar (Función estandarizada de la normal)
4. Economía. G= p.g gasto
PIB=C+I+X-M (BC)
Ejemplo de modelos matemáticos. Investigación de operaciones.
(Max)Z=X1 + X2 + X3 sujeto a restricciones A) y B)
Modelo de producción con variables de decisión (X1, X2, X3)
______________________________________________________________________________
Modelo de programación lineal
Es un modelo matemático que se realiza utilizando funciones de primer grado para determinar la estrategia óptima cuando hay varias alternativas u opciones . Estos modelos se aplican generalmente en el campo de la Administración y la Producción, bajo ciertos requerimientos que se establecen relacionados con la disponibilidad y asignación de los recursos utilizados (en combinación de productos en una fábrica, distribución de espacios en tiendas por departamentos, asignación de tripulaciones a aviones en una aerolínea), es decir, las condiciones restrictivas que se
ñala el mercado de productos y recursos (proveedores y consumidores) y las condiciones técnicas que presenta cada problema particular.
El Modelo de programación lineal contiene los siguientes elementos:
A. Variables de decisión Xn: son las incógnitas X1 ; X2 (del modelo, es decir, cantidades o valores desconocidos que se deben calcular para obtener la solución de un problema, se suelen representar con últimas letras mayúsculas del alfabeto (W, X, Y). Son niveles de actividad, son el número de veces que se repite
B. Parámetros Cn, Amn, Bmn: son aquellos factores constantes que acompañan a las variables de decisión en la función objetivo permitiendo establecer una relación funcional entre estos últimos y las variables objetivos (Z). Se representa mediante números enteros o fracciones decimales (50; 0,75-1; 48)
C. Restricciones: son limitaciones físicas en el modelo estrechamente vinculadas a la asignación y manejo de los recursos, a la oferta y a la demanda, y a las condiciones tecnológicas presentes en el problema. Los coeficientes Amn expresan cuánto se necesita para la elaboración de cada unidad producto X1 ; X2 ...., Xn.
bn (lado derecho) representa el factor productivo, los recursos o limitaciones del modelo.
B1 son Kilogramos disponibles de materia prima, Número de horas-hombre disponibles diariamente,
son Número de horas-máquinas disponibles diariamente, son Demanda máxima de productos.
Se representa utilizando los símbolos: mayor o igual que >, menor o igual que <, o igual =) (>, <,=)
D. Función objetivo: La función objetivo es una expresión algebraica (ecuación) que se utiliza para medir o cuantificar la efectividad del modelo en términos de la variable de decisión.
La función objetivo es la suma directa de las combinaciones individuales de las variables (el modelo de programación lineal requiere la aditividad y la proporcionalidad del uso de los recursos sea directamente proporcional al nivel (o valor) de la variable.
La combinación de aditividad y proporcionalidad es la linealidad, la cual permite la divisibilidad (y las asignaciones fraccionarias de productos o artículos discretos. Por ejemplo, fabricación de 4 y 1/4 de unidades). . La solución óptima es entera
Por ejemplo, en la función Costo= costo unitario por producto. Costo: Z=C1 X1
La función objetivo expresa en el lado izquierdo la variable objetivo (Z) y en el lado derecho la variable de decisión y los parámetros. Maximizar (MAX) o Minimizar (MIN)
A. Identificar las variables de decisión.
Es una actividad que se realiza a través de una lectura detallada del problema, la cual permite elegir los elementos relevantes para definir un curso de acción (política y/o estrategia) a fin de lograr el objetivo o resultado fijado.
Las variables de decisión se expresan mediante una proposición gramatical que contiene tres (3) elementos básicos:
1. Verbo en infinitivo (termina en ar, er, ir), el cual señala la acción o decisión a ejecutar
2. Unidad de tiempo del plan o proceso UPT: establece el horizonte temporal para cuantificar los resultados de la actividad que se realiza.
3.La unidad de medida del producto UMP, que se adapta a las características materiales de este (sólido, líquido o gaseoso). La unidad de producto sirve de base de cálculo en los resultados económicos financieros de la actividad productiva.
Continuación de Formulación de modelos
B. Plantear las restricciones.
Consiste en señalar los requisitos o condiciones que plantea el problema en relación a la asignación de recursos a los condicionantes del mercado de insumos y productos y los factores técnicos típicos de cada problema. Un conjunto de palabras clave que están presente en el enunciado o texto del problema permitiendo identificar hasta tres (3) tipos de restricciones.
Cada restricción conformará una función matemática que puede ser ecuación y/o inecuación.
Recordar plantear la Condición de no negatividad
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PL(Resumen).
Marisol Hernández
Para el caso del problema de maximización, las desigualdades de restricción se expresan en la forma ≤ y para el problema de minimización se expresan en la forma ≥ a una constante positiva.
La función objetivo y las restricciones están expresadas por funciones lineales: ecuaciones e inecuaciones y donde ninguna de las variables puede ser negativa
Es un modelo matemático que se realiza utilizando funciones de primer grado para determinar la estrategia óptima cuando hay varias alternativas u opciones . Estos modelos se aplican generalmente en el campo de la Administración y la Producción, bajo ciertos requerimientos que se establecen relacionados con la disponibilidad y asignación de los recursos utilizados (en combinación de productos en una fábrica, distribución de espacios en tiendas por departamentos, asignación de tripulaciones a aviones en una aerolínea), es decir, las condiciones restrictivas que se
ñala el mercado de productos y recursos (proveedores y consumidores) y las condiciones técnicas que presenta cada problema particular.
El Modelo de programación lineal contiene los siguientes elementos:
A. Variables de decisión Xn: son las incógnitas X1 ; X2 (del modelo, es decir, cantidades o valores desconocidos que se deben calcular para obtener la solución de un problema, se suelen representar con últimas letras mayúsculas del alfabeto (W, X, Y). Son niveles de actividad, son el número de veces que se repite
B. Parámetros Cn, Amn, Bmn: son aquellos factores constantes que acompañan a las variables de decisión en la función objetivo permitiendo establecer una relación funcional entre estos últimos y las variables objetivos (Z). Se representa mediante números enteros o fracciones decimales (50; 0,75-1; 48)
C. Restricciones: son limitaciones físicas en el modelo estrechamente vinculadas a la asignación y manejo de los recursos, a la oferta y a la demanda, y a las condiciones tecnológicas presentes en el problema. Los coeficientes Amn expresan cuánto se necesita para la elaboración de cada unidad producto X1 ; X2 ...., Xn.
bn (lado derecho) representa el factor productivo, los recursos o limitaciones del modelo.
B1 son Kilogramos disponibles de materia prima, Número de horas-hombre disponibles diariamente,
son Número de horas-máquinas disponibles diariamente, son Demanda máxima de productos.
Se representa utilizando los símbolos: mayor o igual que >, menor o igual que <, o igual =) (>, <,=)
D. Función objetivo: La función objetivo es una expresión algebraica (ecuación) que se utiliza para medir o cuantificar la efectividad del modelo en términos de la variable de decisión.
La función objetivo es la suma directa de las combinaciones individuales de las variables (el modelo de programación lineal requiere la aditividad y la proporcionalidad del uso de los recursos sea directamente proporcional al nivel (o valor) de la variable.
La combinación de aditividad y proporcionalidad es la linealidad, la cual permite la divisibilidad (y las asignaciones fraccionarias de productos o artículos discretos. Por ejemplo, fabricación de 4 y 1/4 de unidades). . La solución óptima es entera
Por ejemplo, en la función Costo= costo unitario por producto. Costo: Z=C1 X1
La función objetivo expresa en el lado izquierdo la variable objetivo (Z) y en el lado derecho la variable de decisión y los parámetros. Maximizar (MAX) o Minimizar (MIN)
Formulación de Modelos
Formular un modelo consiste
en expresar o traducir las proposiciones gramaticales de un problema en
funciones matemáticas. Este proceso consiste en los siguientes aspectos o
etapas:
A. Identificar las variables
de decisión
B. Plantear o formular las
restricciones
C. Elaborar la función
objetivo
A. Identificar las variables de decisión.
Es una actividad que se realiza a través de una lectura detallada del problema, la cual permite elegir los elementos relevantes para definir un curso de acción (política y/o estrategia) a fin de lograr el objetivo o resultado fijado.
Las variables de decisión se expresan mediante una proposición gramatical que contiene tres (3) elementos básicos:
1. Verbo en infinitivo (termina en ar, er, ir), el cual señala la acción o decisión a ejecutar
2. Unidad de tiempo del plan o proceso UPT: establece el horizonte temporal para cuantificar los resultados de la actividad que se realiza.
3.La unidad de medida del producto UMP, que se adapta a las características materiales de este (sólido, líquido o gaseoso). La unidad de producto sirve de base de cálculo en los resultados económicos financieros de la actividad productiva.
1.Verbos
en Infinitivos
Para la actividad de producción: elaborar, fabricar, producir, manufacturar,
mezclar …
Para la actividad de distribución. Comprar, Vender, Distribuir …
|
2.Unidad
de tiempo del proceso (UTP):
diario, semanal, mensual, trimestral,
semestral, anual, …
|
3.Unidad
de medida de producto:
toneladas, kilogramos, gramos,
miligramos, onzas, libras, cc centímetros cúbicos, metro cúbicos
|
Recordar plantear la Condición de no negatividad
Restricciones de requerimiento
|
Restricción de limitación
|
Restricciones de equilibrio
|
Palabras clave:
Cuando menos
Por lo menos
Al menos
Mínimo
SÍMBOLO (≥ 0)
MAYOR O IGUAL
|
Palabras clave:
Cuando mucho
Cuando más
No más de
Hasta
Máximo
Disponibilidad
SÍMBOLO (≤ 0)
MENOR O IGUAL
|
Palabras clave:
Recursos disponibles= recursos
utilizados
Inventario final = 0
Ingreso = Costo
Punto de equilibrio
SÍMBOLO (= )
IGUAL
|
C. Función objetivo.
La función objetivo en el modelo de investigación de operaciones algebraica (ecuación) es la que se establece para estimar los resultados económicos financieros de la actividad económica. En el enunciado o texto del problema se pueden identificar un conjunto de palabras clave que llevan a establecer dos tipos de objetivos: MAXIMIZAR (magnitudes como beneficio, cantidad y calidad de producto o MINIMIZAR (magnitudes como costos y tiempo)
UTILIDAD
BENEFICIO
GANANCIA
INGRESO
|
EGRESO
COSTO
GASTO
PÉRDIDA
|
MAXIMIZAR
|
MINIMIZAR
|
Marisol Hernández
Para el caso del problema de maximización, las desigualdades de restricción se expresan en la forma ≤ y para el problema de minimización se expresan en la forma ≥ a una constante positiva.
La función objetivo y las restricciones están expresadas por funciones lineales: ecuaciones e inecuaciones y donde ninguna de las variables puede ser negativa
PROBLEMA
|
MODELOS
|
PROPOSICIONES GRAMATICALES
|
FUNCIONES MATEMÁTICAS
|
Constituyen
INFORMACIÓN
|
Función Objetivo
|
FINANCIERA
|
Se elabora con una Ecuación
|
Sirve para elaborar
Información
|
Restricciones
|
Recursos
Oferta
Demanda …
|
Inecuaciones
Ecuaciones
|
CNN(variable) X1 ≥
0
Condición de
no negatividad |
----------------------------------------------------------------------------------------------------
1er corte. EJERCICIOS RESUELTOS. Profesora Marisol Hernández +584146219859
ESTUDIAR LA TEORÍA. Leer 3 o 4 veces enunciados o planteamientos del problema.
Verificar cálculos. Hacer FORMATO o FORMULARIOS y llevarlos copiados A MANO,
1er corte. EJERCICIOS RESUELTOS. Profesora Marisol Hernández +584146219859
ESTUDIAR LA TEORÍA. Leer 3 o 4 veces enunciados o planteamientos del problema.
Verificar cálculos. Hacer FORMATO o FORMULARIOS y llevarlos copiados A MANO,
Investigación de Operaciones
IMPRIMIR PARA EL PRIMER CORTE A PARTIR DE ESTA PAGINA.
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Problema 1
Supongamos que se cuenta con dos alimentos: pan P (= X1) y queso Q (X2).
Cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones.
Un kilogramo de pan contiene 2.000 calorías y 50 gramos de
proteínas.
Un kilogramo de queso contiene 4.000 calorías y 200 gramos
de proteínas.
Una dieta normal requiere cuando menos 6.000 calorías y 200 gramos
de proteínas diariamente.
Si un kilogramo de pan cuesta 120 bolívares y un kilogramo de queso 1000
bolívares. ¿Qué cantidad de pan y queso se deben comprar para satisfacer los
requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero? Formular el modelo de programación
lineal.
SOLUCIÓN.1.-Planteamiento
verbal. Problema 1
a)¿Cuál es el objetivo?
|
Minimizar los costos de compra
|
b)¿Cuál decisión se debe tomar?
|
Determinar la cantidad de kilogramos de pan X1 y de queso X2 que se deben
comprar diariamente
|
c)¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
Los requerimientos de calorías diariamente (6000 calorías)
Los requerimientos de proteínas diariamente (200 gramos)
|
2.- Elaboración
matemática. Problema 1
a) Definición
de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de
restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo (meta)
|
Actividad: hacer una dieta
Productos: Pan X1 Queso X2 Verbo: comprar
X1 =P: cantidad de pan a comprar (en kilogramos) diariamente
X2 = Q: cantidad de queso a comprar (kilogramos) diariamente
Definición conceptual:
X1 producto a comprar (pan)
Unidad de medida del producto: kilogramo
Unidad de tiempo del proceso:
diariamente
X2 producto a comprar (queso)
Unidad de medida del producto: kilogramo
Unidad de tiempo del proceso:
diariamente
|
Palabra clave: cuando menos ( ≥)
X1 X2 Pan Queso Requerim Calorias 2000 4000 ≥ 6000 Proteinas (gr) 50 200 ≥ 200
2.000 P + 4.000 Q ≥ 6.000 (calorías requeridas por día)
50 P + 200 Q ≥ 200
(gramos de proteínas requeridos por día) -------------------------------------- Caloria 2000 X1+4000X2 ≥ 6000 Proteinas 50 X1 +200 X2 ≥ 200 Condición de no negatividad X1 ; X2 ≥ 0 |
Gastos = Precio . Cantidades G =P. Q
X1 X2
Pan Queso
Precio (Bs/Kg) 120 1000 Z representa el gasto
(Min) Z = 120 X1 +
1000 X2
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 1
Modelo de programación lineal PL |
(Min) Z = 120X1 + 1000X2
(sujeto a) s.a
2000X1 +
4000X1 ≥ 6000
50X1 +
200X2 ≥ 200
X1 ; X2 ≥ 0
|
Problema 2. Profesora Marisol Hernández
Dos (2) productos son manufacturados
en tres (3) máquinas.
Un kilogramo de cada producto requiere un número específico de horas en cada
máquina diariamente, como se expresa en la tabla 1. El total de horas
disponibles diariamente, son respectivamente 10, 12 y 16 horas para las
máquinas 1,2 y 3. La utilidad por kilogramo vendido es de 1.4 y 1.5 bolívares
para los productos A y B. Formular el
modelo de programación lineal.
Tabla 1 HORAS MÁQUINA. UTILIDAD
Máquina
|
Producto
(horas/Kg)
|
Producto
(horas/Kg)
|
Disponibilidad
(horas)
|
A
|
B
|
||
1
|
3
|
2
|
10
|
2
|
1
|
4
|
12
|
3
|
5
|
3
|
16
|
Utilidad
Bs/Kg
|
1.4
|
1.5
|
Solución
1.-Planteamiento
verbal. Problema 2
a)¿Cuál es el objetivo?
|
Maximizar la utilidad por productos vendidos
|
b)¿Cuál decisión se debe tomar?
|
Determinar la cantidad de kilogramos del producto A (X1)del producto B(X2) que se
venderán diariamente
|
c)¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
La disponibilidad de tiempo (horas máquina) en cada máquina
|
2.- Elaboración
matemática. Problema 2
a) Definición
de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de
restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo
|
X1 =PA: cantidad a elaborar del producto A ( en kilogramos) diariamente
Definición conceptual: producto a elaborar (PA)
Unidad de medida del producto: kilogramo
Unidad de tiempo del proceso: diariamente
X2 = PB: cantidad a elaborar del producto B (kilogramos) diariamente
Definición conceptual: producto a elaborar (PB)
Unidad de medida del producto: kilogramos
Unidad de tiempo del proceso: diariamente
|
X1 X2
Producto A Producto B Dispo
3PA + 2PB
≤ 10
Horas disponibles en la maquina 1
PA +
4PB ≤ 12
Horas disponibles en la máquina 2
5PA + 3PB
≤ 16
Horas disponibles en la máquina 3
----------------------------------
3 X1 + 2X2 ≤ 10
Horas disponibles en la maquina 1
X1 + 4X2 ≤ 12
Horas disponibles en la máquina 2
5 X1 + 3X2 ≤ 16
Horas disponibles en la máquina 3
X1 ; X2 ≥ 0 (No negatividad)
|
X1 X2 Producto A Producto B 1.4 1.5
Utilidad = 1.4PA + 1.5PB
Z representa la Utilidad
(MAX) Z = 1.4 X1 +
1.5X2
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 2
Modelo de programación lineal PL |
(MAX) Z = 1.4X1 +
1.5X2
s.a
3X1 +
2X2 ≤ 10
X1 +
4X2 ≤ 12
5X1 +
3X2 ≤ 16
X1 ; X2 ≥ 0
|
Problema 3
Una empresa distribuye automóviles y lanchas.
La utilidad aportada por la venta
de cada automóvil es de 20.000 bolívares y por cada lancha 25.000 de bolívares.
La compañía fabricante sólo puede
proveer no más de 20 automóviles y no más de 3 lanchas al mes.
La empresa utiliza 2 horas para la
preparación de un automóvil y 3 horas para una lancha.
La empresa cuenta con 900 horas
disponibles para acondicionar automóviles y lanchas nuevas.
Formular el modelo de programación lineal.
Solución
1.-Planteamiento
verbal. Problema 3
a) ¿Cuál es el objetivo?
|
Maximizar la utilidad por productos vendidos
|
b) ¿Cuál decisión se debe tomar?
|
Determinar el número de automóviles y lanchas a vender mensualmente.
|
c) ¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
La disponibilidad de tiempo (horas) para acondicionar automóviles y
lanchas.
El suministro de automóviles y lanchas por la empresa fabricante
|
2.- Elaboración
matemática. Problema 3
a) Definición
de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de
restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo
|
Definición de las variables de decisión
X1= A: cantidad a vender de automóviles (unidades) mensualmente.
Definición conceptual: producto a vender automóviles “A”
Unidad de medida del producto: Unidades
Unidad de tiempo del proceso: mensualmente.
X2= L: cantidad a vender de lanchas L
(Unidades) mensualmente.
Definición conceptual: producto a vender (lanchas) “L”
Unidad de medida del producto: Unidades
Unidad de tiempo del proceso: mensualmente
|
X1 X2 Disponible
Auto Lancha -------------------------------------------------
2A + 3L
≤ 900 (Horas disponibles para acondicionamiento)
A ≤ 20 (número de automóviles a vender)
L
≤ 3 (número de lanchas a
vender)
---------------------------------------
X1 ≤ 20
(Oferta de automóviles al mes)
X1 ≤ 3
(Oferta de lanchas al mes)
(No negatividad) X1 ; X2 ≥ 0
|
X1 X2
Automovil Lancha
20.000 25.000
Utilidad = 20.000A + 25.000L
Modelo de programación lineal
(MAX) Z = 20.000X1+
25.000X2
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 3
|
(MAX) Z =
20000X1 + 25000X2
s.a
2X1 +
3X2 ≤ 900
X1 ≤ 20
X2 ≤
3
X1 ;
X2 ≥ 0
|
IDENTIFIQUE CADA PROBLEMA CON EL NÚMERO 7, 8, 9 Y 12 con su Apellido Con bolígrafo
Ejercicio propuesto para resolver. Problema 7
Un taller elabora dos tipos de productos utilizando madera. Cada producto Tipo
A requiere 4 horas de torno y 2 horas de pulido. Cada unidad del producto B
requiere 2 horas de torno y 5 horas de pulido. El taller tiene disponibles 2
tornos y 3 pulidoras, que se utilizan 40 horas semanales cada uno. La ganancia
que se obtiene por la venta de cada unidad del producto A es 26 bolívares y 28
bolívares por unidad del producto B. Formule un modelo de programación lineal
para maximizar la utilidad total.
Solución
1.-Planteamiento verbal. Problema 7
a) ¿Cuál es el objetivo?
| |
b) ¿Cuál decisión se debe tomar?
| |
c) ¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
2.- Elaboración matemática. Problema 3
a) Definición de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo
|
Definición de las variables de decisión
A:
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
L:
L
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 7
|
Ejercicio propuesto para resolver. Problema 8
En una
carpintería se fabrican mesas y sillas. Para preparar una mesa se utilizan 2
horas de ensamble y 30 minutos para una silla. El ensamblaje lo realizan 4
trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los compradores
suelen adquirir cuando menos 4 sillas por cada mesa, lo que obliga a la empresa
a producir 4 veces mas sillas que mesas El precio de venta de cada mesa es de
700 bolívares y para cada silla es precio es de 200 bolívares. Formule el
modelo de programación lineal para maximizar el ingreso total.
Solución
1.-Planteamiento verbal. Problema 8
a) ¿Cuál es el objetivo?
| |
b) ¿Cuál decisión se debe tomar?
| |
c) ¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
2.- Elaboración matemática. Problema 8
a) Definición de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo
|
Definición de las variables de decisión
A:
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
L:
L
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 8
|
Ejercicio propuesto para resolver.Problema 9
Una empresa elabora 2 tipos de juguetes con madera: soldados y trenes. Cada
soldado se vende a 25 bolívares y cada tren a 24 bolívares. Los costos de
fabricación de un soldado son: de 4 bolívares en materia prima y 3 de mano de
obra. En cada tren se aplican 2.5 bolívares de materia prima y 1.8 de mano de
obra La producción de soldados y trenes demanda el uso de dos tipos de trabajo:
carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y una hora de
carpintería por semana. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de
carpintería. No hay limitación en el uso de la materia prima. La disponibilidad
de tiempo para acabado es de 100 horas y para carpintería 80 horas. La demanda
de trenes no está limitada, pero la de
soldados es de 40 unidades por semana. Formule el modelo de programación
lineal que permita maximizar el beneficio de la empresa.
Solución
1.-Planteamiento verbal. Problema 9
a) ¿Cuál es el objetivo?
| |
b) ¿Cuál decisión se debe tomar?
| |
c) ¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
2.- Elaboración matemática. Problema 9
a) Definición de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo
|
Definición de las variables de decisión
A:
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
L:
L
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 9
|
Ejercicio propuesto para resolver. Problema 12
Una empresa
fabrica dos artículos: el tipo A y e] tipo B. El programa de producción se
realiza semanalmente. Para la elaboración de los productos se tiene la
siguiente disponibilidad de recursos: para mano de obra, 2.500 bolívares, para
materia prima 3.500 bolívares y en desgaste de maquinaria 1.800 bolívares. En
cada unidad del producto A se utilizan: 0.15 bolívares en mano de obra 0.1
bolívares en materia prima y 0.2 para desgaste de maquinaría Cada unidad del
producto B requiere: 0.13 bolívares en mano de obra 0.08 bolívares en materia
prima y 0.15 bolívares para desgaste de maquinaria. La utilidad aportada por la
venta de una unidad del producto A es de 5 bolívares y 3 bolívares por unidad
del producto B. Formule el modelo de programación lineal que maximice la
utilidad.
Solución
1.-Planteamiento verbal. Problema 12
a) ¿Cuál es el objetivo?
| |
b) ¿Cuál decisión se debe tomar?
| |
c) ¿Cuáles factores limitan la decisión?
|
2.- Elaboración matemática. Problema 12
a) Definición de las variables de decisión
|
b) Elaboración del sistema de restricciones
|
c) Elaboración de la función objetivo
|
Definición de las variables de decisión
A:
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
L:
L
Definición conceptual:
Unidad de medida del producto:
Unidad de tiempo del proceso:
|
MODELO FORMULADO. EJERCICIO 12
|
IDENTIFIQUE CADA PROBLEMA CON EL NÚMERO 7, 8, 9 Y 12 con su Apellido Con bolígrafo
Para el Segundo Taller de Investigación de operaciones. Profesora Marisol Hernández
RESOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL. PL
1. Método gráfico. -Definición. -Representación gráfica.
-Identificación del área de solución factible (ASF)
-Vértices o puntos extremos del área de solución factible (ASF)
-Solución óptima (la mejor).
2. Método símplex. -Definición.-Modelo original y modelo estándar
-Variables: Holgura (de signo positivo, significa el recurso que no se utiliza o capacidad ociosa), Exceso (de signo negativo, significa el recurso que se está utilizando de más)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ El Método gráfico es un procedimiento que se utiliza para resolver problemas de programación lineal PL utilizando dos (2) variables de decisión (X1 ; X2), se aplica de la siguiente manera:
1. Representar gráficamente en un sistema de coordinadas cartesianas cada una las restricciones del modelo.
2. Identificar el área de solución factible (ASF)
Para el Segundo Taller de Investigación de operaciones. Profesora Marisol Hernández
RESOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL. PL
1. Método gráfico. -Definición. -Representación gráfica.
-Identificación del área de solución factible (ASF)
-Vértices o puntos extremos del área de solución factible (ASF)
-Solución óptima (la mejor).
2. Método símplex. -Definición.-Modelo original y modelo estándar
-Variables: Holgura (de signo positivo, significa el recurso que no se utiliza o capacidad ociosa), Exceso (de signo negativo, significa el recurso que se está utilizando de más)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ El Método gráfico es un procedimiento que se utiliza para resolver problemas de programación lineal PL utilizando dos (2) variables de decisión (X1 ; X2), se aplica de la siguiente manera:
1. Representar gráficamente en un sistema de coordinadas cartesianas cada una las restricciones del modelo.
2. Identificar el área de solución factible (ASF)
3. Calcular el valor de los vértices o puntos extremos del área de solución factible (ASF).
4. Sustituir el valor de cada vértice en la función objetivo.
5. Identificar la solución óptima.
**Para la resolución con el Método gráfico se realizan cuatro (4) pasos, iterativos.
Paso 1. Primero se transforma las desigualdades o inecuaciones del sistema de restricciones en igualdades (que representan líneas rectas).
Luego se buscan los puntos que se cortan con los ejes X1 ; X2 (de cada una de las restricciones) para hallar los valores del par ordenado (X1 ; X2) de cada punto. Se asigna valor cero (0) a cada variable de decisión. Es decir, Para X1 =0 en la ecuación A y en la ecuación B y siguientes. Se despeja X2
Para X2=0 en la ecuación A y en la ecuación B y siguientes. Se despeja X1
Paso 2. Luego de determinar los cortes con los ejes de cada una de las restricciones, por medio de pares ordenados (X1 ; X2) se grafican o diseñan en un plano cartesiano de ordenadas (eje X2) y abscisas (eje X1) asignando valor cero (0) a cada una de las variables de decisión.
Paso 3. Se halla los valores de los vértices del ASF. Se utiliza los métodos de:
SUSTITUCIÓN (despejando una de las variables o letras en una de las ecuaciones y el resultado se debe reemplazar en la otra ecuación),
IGUALACIÓN (despejando la misma variable o letra en las dos ecuaciones), REDUCCIÓN (haciendo iguales los coeficientes de una misma variable o incógnita, para poder eliminarla -sumando o restando)
Las dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, para encontrar solución común.
Los puntos (intersección de líneas rectas) que satisfacen (o cumplen) la inecuación, por ejemplo la inecuación A forman el semiplano rayado de rayas horizontales =, y los puntos que satisfacen la inecuación, por ejemplo la inecuación B forman el semiplano rayado de rayas verticales //, Además, como se debe satisfacer (o cumplir) las restricciones o condiciones de no negatividad X1 ≥ 0; X2 ≥ 0. Se halla los vértices del polígono de factibilidad o el área de soluciones factibles ASF que corresponde a la región por ejemplo ABC (que es la intersección de las rectas).
**Se evalúa los puntos de ensayo para cada una de las desigualdades. A efecto de simplificar se evalúa el par ordenado (0;0). Si al evaluar el punto de ensayo (0;0) la desigualdad se cumple, se puede rayar la otra parte del plano. Si no se cumple la desigualdad se procede a rayar todo el área que esta por debajo de la recta. Por ejemplo, el área sombreada es la región factible y el área en blanco es la región no factible (se descarta).
Paso 4. Consiste en establecer cuales de la solución factibles optimizan (minimizan o maximizan) la función objetivo. Se determina el punto óptimo, calculando el corte con los ejes (X1 ; X2), en la función objetivo.
En otras palabras, Una vez hallada la región factible (o posible), se debe calcular el valor de la función objetivo sólo en los vértices del área de factibilidad. En el ejercicio que la función objetivo (Max) Z se debe comprobar cual de los vértices hace máximo el valor de la función objetivo; y este punto máximo es la solución óptima. En el ejercicio que la función objetivo (Min) Z se debe comprobar cual de los vértices hace mínimo el valor de la función objetivo y este punto mínimo es la solución óptima; .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio de MÉTODO GRÁFICO (o solución geométrica). Clase.
Se plantea un problema de programación lineal PL con dos (2) variables de decisión.
El MODELO FORMULADO correspondiente al problema se muestra al final. Se pide
1. Representar gráficamente las restricciones.
2. Identificar el área de solución factible ASF.
3. Calcular el valor de los vértices del ASF..
4.Sustituir el valor de cada punto en la función objetivo
5. Identificar la solución optima.
En una tabla coloque Punto A, B,C..Coordenada X1, Coordenada X2 y Valor Z
Dado el Modelo formulado de Programación lineal PL
(Min) Z = 40X1 + 300X2
sujeto a (s. a.)
A) 2000X1 + 4000 X2 ≥ 6000
B) 50X1 + 200 X2 ≥ 200
X1 ; X2 ≥ 0
SOLUCIÓN del problema de programación lineal PL con el MÉTODO GRÁFICO
Paso 1. Se transforma las inecuaciones del sistema de restricciones en igualdades
A) 2000X1 + 4000 X2 = 6000
B) 50X1 + 200 X2 = 200
4. Sustituir el valor de cada vértice en la función objetivo.
5. Identificar la solución óptima.
**Para la resolución con el Método gráfico se realizan cuatro (4) pasos, iterativos.
Paso 1. Primero se transforma las desigualdades o inecuaciones del sistema de restricciones en igualdades (que representan líneas rectas).
Luego se buscan los puntos que se cortan con los ejes X1 ; X2 (de cada una de las restricciones) para hallar los valores del par ordenado (X1 ; X2) de cada punto. Se asigna valor cero (0) a cada variable de decisión. Es decir, Para X1 =0 en la ecuación A y en la ecuación B y siguientes. Se despeja X2
Para X2=0 en la ecuación A y en la ecuación B y siguientes. Se despeja X1
Paso 2. Luego de determinar los cortes con los ejes de cada una de las restricciones, por medio de pares ordenados (X1 ; X2) se grafican o diseñan en un plano cartesiano de ordenadas (eje X2) y abscisas (eje X1) asignando valor cero (0) a cada una de las variables de decisión.
Paso 3. Se halla los valores de los vértices del ASF. Se utiliza los métodos de:
SUSTITUCIÓN (despejando una de las variables o letras en una de las ecuaciones y el resultado se debe reemplazar en la otra ecuación),
IGUALACIÓN (despejando la misma variable o letra en las dos ecuaciones), REDUCCIÓN (haciendo iguales los coeficientes de una misma variable o incógnita, para poder eliminarla -sumando o restando)
Las dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, para encontrar solución común.
Los puntos (intersección de líneas rectas) que satisfacen (o cumplen) la inecuación, por ejemplo la inecuación A forman el semiplano rayado de rayas horizontales =, y los puntos que satisfacen la inecuación, por ejemplo la inecuación B forman el semiplano rayado de rayas verticales //, Además, como se debe satisfacer (o cumplir) las restricciones o condiciones de no negatividad X1 ≥ 0; X2 ≥ 0. Se halla los vértices del polígono de factibilidad o el área de soluciones factibles ASF que corresponde a la región por ejemplo ABC (que es la intersección de las rectas).
**Se evalúa los puntos de ensayo para cada una de las desigualdades. A efecto de simplificar se evalúa el par ordenado (0;0). Si al evaluar el punto de ensayo (0;0) la desigualdad se cumple, se puede rayar la otra parte del plano. Si no se cumple la desigualdad se procede a rayar todo el área que esta por debajo de la recta. Por ejemplo, el área sombreada es la región factible y el área en blanco es la región no factible (se descarta).
Paso 4. Consiste en establecer cuales de la solución factibles optimizan (minimizan o maximizan) la función objetivo. Se determina el punto óptimo, calculando el corte con los ejes (X1 ; X2), en la función objetivo.
En otras palabras, Una vez hallada la región factible (o posible), se debe calcular el valor de la función objetivo sólo en los vértices del área de factibilidad. En el ejercicio que la función objetivo (Max) Z se debe comprobar cual de los vértices hace máximo el valor de la función objetivo; y este punto máximo es la solución óptima. En el ejercicio que la función objetivo (Min) Z se debe comprobar cual de los vértices hace mínimo el valor de la función objetivo y este punto mínimo es la solución óptima; .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio de MÉTODO GRÁFICO (o solución geométrica). Clase.
Se plantea un problema de programación lineal PL con dos (2) variables de decisión.
El MODELO FORMULADO correspondiente al problema se muestra al final. Se pide
1. Representar gráficamente las restricciones.
2. Identificar el área de solución factible ASF.
3. Calcular el valor de los vértices del ASF..
4.Sustituir el valor de cada punto en la función objetivo
5. Identificar la solución optima.
En una tabla coloque Punto A, B,C..Coordenada X1, Coordenada X2 y Valor Z
Dado el Modelo formulado de Programación lineal PL
(Min) Z = 40X1 + 300X2
sujeto a (s. a.)
A) 2000X1 + 4000 X2 ≥ 6000
B) 50X1 + 200 X2 ≥ 200
X1 ; X2 ≥ 0
SOLUCIÓN del problema de programación lineal PL con el MÉTODO GRÁFICO
Paso 1. Se transforma las inecuaciones del sistema de restricciones en igualdades
A) 2000X1 + 4000 X2 = 6000
B) 50X1 + 200 X2 = 200
Se buscan los puntos que se cortan con los ejes X1 ; X2 para hallar los valores del par ordenado (X1 ; X2) de cada punto.
El Método símplex, es un algoritmo que, permite solucionar y optimizar (maximizar y minimizar) problemas de programación lineal PL utilizando dos (2) o más variables de decisión (X1 ; X2), facilita el análisis de sensibilidad del modelo y el problema dual (de valor por unidad de recurso), proporciona el cálculo para determinar los límites entre los cuales el modelo óptimo alcanzado continúa manteniendo esa misma condición.
Un problemas de programación lineal PL está expresado en forma estándar si satisface o cumple las siguientes condiciones:
1. La función objetivo debe ser maximizada o minimizada.
2. Todas las variables son no negativas.
3. En las condiciones de restricciones las expresiones que contienen variables son menores o iguales (≤) a una constante positiva en el problema de maximización (de magnitudes como beneficio, cantidad o calidad de producto) y mayores o iguales (≥) a una constante positiva en el caso de problema de minimización (de magnitudes como costos o tiempos)
El Método símplex consiste en un sistema de cálculo fundamentado en el álgebra de matrices y permite desarrollar algoritmos que proporcionan soluciones cada vez mejores del problema hasta llegar a la solución óptima.
Se expresa el problema de PL en forma estándar, con la única variación que las restricciones van a ser expresadas por igualdades (o ecuaciones). Es decir, las condiciones de restricciones del problema estándar se expresan por un sistema de ecuaciones
Variables de holgura.
Las restricciones expresadas como desigualdades se transforman en igualdades sumando o restando al primer miembro de la desigualdad una variable no negativa, denominada variable de holgura (+h1) y se suman si la restricción es (≤), y se restan una variable de excedente (-h1) si la restricción es (≥).
**En caso de lados derechos negativos. Cada restricción y el segundo miembro de la desigualdad siempre se puede hacer positivo multiplicando por (-1) menos uno, la desigualdad también cambia de sentido.
**En el caso que, una o más variable no tiene restricción de signo ( o es irrestricta), se procede a introducir dos (2) variables nuevas no negativas (Xi=A-B). Al llegar a la tabla óptima se realiza nuevamente las sustituciones de las variables nuevas por la variable original.
** Si existe una solución degenerada (en la solución final óptima existe una o más variable básica, que son igual a cero (=0); desde el punto de vista gráfico existe una solución degenerada cuando por el punto óptimo pasan más de de dos (2) rectas, resultando más de una solución.
La degeneración no impide que se alcance la solución óptima.
La degeneración puede ocurrir en el proceso de pivoteo, cuando se tiene un empate al determinar la Variable Que Sale VQS, (escójase la que esté más arriba), de allí que una o más variables básicas serán cero en la siguiente iteracción
De esta manera se obtiene el problema reformulado en forma estándar con variable de holgura
PROCESAMIENTO EJERCICIO Nº 1
X1 = 0
___________________________________________________________________
Paso 1. Para X1
=0
En la ecuación A) se sustituye y se despeja X2
2000X1 + 4000 X2
= 6000
2000(0) + 4000 X2
= 6000
0 + 4000 X2 =
6000
X2 =
6000/4000
X2 =
1,5
P1
(0 ; 1,5)
Para X2 =0
En la ecuación A) se sustituye y se despeja X1
2000 X1 + 4000 (0) = 6000
2000 X1 + 0 = 6000
2000 X1 =
6000
X1 =
6000/2000
X1 =
3
P2 (3 ; 0)
|
Paso 1. Para X1 =0
En la ecuación B)
50X1 +
200 X2 =
200
50(0) + 200 X2 =
200
0 +
200 X2 =
200
X2 =
200 / 200
X2 =
1
P3
(0 ; 1)
Para X2 =0
En la ecuación B)
50X1 +
200 (0) =
200
50X1 +
0 = 200
50X1 = 200
X1 = 200
/ 50
X1 = 4
P4 (4 ; 0)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Paso 1. Entonces los
puntos que cortan los ejes X1 ; X2 son:
Paso 3. Los puntos que satisfacen la inecuación 2000X1 + 4000 X2 ≥ 6000 forman el semiplano rayado horizontalmente = y los puntos que cumplen la inecuaciòn 50X1 + 200 X2 ≥ 200 forman el semiplano rayado verticalmente III.
Además, como X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0 se debe cumplir la (condición de no negatividad). Entonces, el área de solución factible ASF corresponde a la región ABC (que es la intersección)
**Se evalua los punto de ensayos para cada una de las desigualdades.
Para simpificar se evalua el par ordenado P(0;0) En la inecuación A) 2000X1 + 4000 X2 ≥ 6000 2000(0) + 4000(0) ≥ 6000 0 ≥ 6000 (No satisface) En la inecuación B) 50X1 + 200 X2 ≥ 200 50(0) + 200 (0) ≥ 200 0 ≥ 200 (No satisface) No se cumple la desigualdad en el punto P(0;0), No se incluye P(0;0) en el ASF; se raya el área que esta por debajo de la recta. El área sombreada es la región factible. |
Paso 2. Gráfico de las inecuaciones de restricción (de dos variables
Nota. Por convención la primera variable X1 va en el eje de las abscisas (eje de las x) y la segunda variable en el eje de las ordenadas (eje de las y)
Se grafican primero los pares ordenados de la ecuación
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Paso 3.
A(0;1,5), B(2; 0,5) y C(4;0)
Cálculos del punto B.
Se usa el sistema de ecuaciones
A) P1P2 2000X1 + 4000 X2 = 6000
B) P3P4 50X1 + 200 X2 = 200
_______________________________
Con el método de Reducción o Eliminación se multiplica por (-20) la ecuación P3P4
y luego se suman
2000X1 + 4000 X2 = 6000
-1000X1 - 4000 X2 = - 4000
_______________________ -1000X1 = 2000
X1 = 2000 /1000
X1 = 2
Para hallar el valor de X2 se sustituye X1 = 2 en la ecuación P3P4 50(2) + 200 X2 = 200
100 + 200 X2 = 200
200 X2 = 200 -100
X2 = 100 / 200 X2 = 0,5 Entonces, las coordenadas del vértice son B(2;0,5) |
Paso 4.Se determina el punto óptimo, calculando el corte con los ejes X1 ; X2 del plano en la función objetivo.
**Se calcula el valor de la función objetivo sólo en los vértices del ARF. Sustituyendo los valores, multiplicando y sumando
Punto A. Z = 40(0) + 300(1,5) = 450
Punto B. Z = 40(2) + 300(0,5) = 230 Punto C. Z = 40(4) + 300(0) = 160
(Min) Z = 40X1 + 300X2
El vértice C hace mínimo el valor de la función objetivo. Por tanto, la función objetivo alcanza un mínimo en el punto C(4;0) y esta es la solución óptima | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
El Método símplex, es un algoritmo que, permite solucionar y optimizar (maximizar y minimizar) problemas de programación lineal PL utilizando dos (2) o más variables de decisión (X1 ; X2), facilita el análisis de sensibilidad del modelo y el problema dual (de valor por unidad de recurso), proporciona el cálculo para determinar los límites entre los cuales el modelo óptimo alcanzado continúa manteniendo esa misma condición.
Un problemas de programación lineal PL está expresado en forma estándar si satisface o cumple las siguientes condiciones:
1. La función objetivo debe ser maximizada o minimizada.
2. Todas las variables son no negativas.
3. En las condiciones de restricciones las expresiones que contienen variables son menores o iguales (≤) a una constante positiva en el problema de maximización (de magnitudes como beneficio, cantidad o calidad de producto) y mayores o iguales (≥) a una constante positiva en el caso de problema de minimización (de magnitudes como costos o tiempos)
El Método símplex consiste en un sistema de cálculo fundamentado en el álgebra de matrices y permite desarrollar algoritmos que proporcionan soluciones cada vez mejores del problema hasta llegar a la solución óptima.
Se expresa el problema de PL en forma estándar, con la única variación que las restricciones van a ser expresadas por igualdades (o ecuaciones). Es decir, las condiciones de restricciones del problema estándar se expresan por un sistema de ecuaciones
Variables de holgura.
Las restricciones expresadas como desigualdades se transforman en igualdades sumando o restando al primer miembro de la desigualdad una variable no negativa, denominada variable de holgura (+h1) y se suman si la restricción es (≤), y se restan una variable de excedente (-h1) si la restricción es (≥).
**En caso de lados derechos negativos. Cada restricción y el segundo miembro de la desigualdad siempre se puede hacer positivo multiplicando por (-1) menos uno, la desigualdad también cambia de sentido.
**En el caso que, una o más variable no tiene restricción de signo ( o es irrestricta), se procede a introducir dos (2) variables nuevas no negativas (Xi=A-B). Al llegar a la tabla óptima se realiza nuevamente las sustituciones de las variables nuevas por la variable original.
** Si existe una solución degenerada (en la solución final óptima existe una o más variable básica, que son igual a cero (=0); desde el punto de vista gráfico existe una solución degenerada cuando por el punto óptimo pasan más de de dos (2) rectas, resultando más de una solución.
La degeneración no impide que se alcance la solución óptima.
La degeneración puede ocurrir en el proceso de pivoteo, cuando se tiene un empate al determinar la Variable Que Sale VQS, (escójase la que esté más arriba), de allí que una o más variables básicas serán cero en la siguiente iteracción
De esta manera se obtiene el problema reformulado en forma estándar con variable de holgura
PROCESAMIENTO EJERCICIO Nº 1
Método:
¿Cuantas variables de decisión tiene el
problema?
¿Cuantas restricciones?
¿Cual es el objetivo de la función?
Funcion: 120X1 + 1200 X2
Restricciones:
X1
+ X2
X1
+ X2
Pasamos el problema a la forma estándar, añadiendo variables de exceso,
holgura, y artificiales según corresponda.
MINIMIZAR: 120 X1 + 1200 X2
|
 |
MAZIMIXAR: -120 X1 -1200 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0
X5 + 0 X6
|
2000 X1 + 4000 X2 ≥ 6000
50 X1 + 200 X2 ≥ 200 |
2000 X1 + 4000 X2 -1 X3 + 1 X5 = 6000
50 X1 + 2000 X2 -1 X4 + 1 X6 = 200 |
|
X1, X2 ≥ 0
|
X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0
|
Pasamos a construir la primera tabla de la Fase I
del método de las Dos Fases.
Continuar
Solución Directa
Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos
pasar a la Fase II para calcularla.
La solución óptima es
Z = 1200
X1 = 0
___________________________________________________________________
MODELOS FORMULADOS DE PROGRAMACIÓN desde Nº1 al 10 y desde Nº 11 al 20
NO
NO
IMPRIMIR PARA EL SEGUNDO CORTE A PARTIR DE ESTA PAGINA
Resolver aplicando el método gráfico:
a) Grafique rectas
b) Grafique restricciones
c) Identifique el área de solución factible
d) Determine el punto óptimo
e) Calcule la solución óptima
|
1) (MAX) Z = 4 X1 + X2
s.a.
5 X1 + X2 ≤ 15
3 X1 + 3 X2 ≤ 12
X1 + X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0
| |
2) (MAX) Z = 3 X1 + 2 X2
s.a.
X1 + X2 ≤ 4
3 X1 + 2 X2 ≤ 12
X1 + 0,5 X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
|
3) (MAX) Z = -4 X1 + 8 X2
s.a.
6 X1 - 2 X2 ≤ 3
-2 X1 + 3 X2 ≤ 6
2 X1 + 3 X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
|
4) (MIN) Z = 5 X1 + 2 X2
s.a.
3 X1 - 6 X2 ≤ 18
5 X1 + 4 X2 ≤ 20
8 X1 + 2 X2 ≥ 16
X1, X2 ≥ 0
|
5) (MIN) Z = 3 X1 + 5 X2
s.a.
- 3 X1 + 3 X2 ≤ 6
X1 + X2 ≤ 4
- 3 X1 + 8 X2 ≥ 8
X1, X2 ≥ 0
|
6) (MAX) Z = 4X1 + 3X2
s.a.
6 X1 - 5 X2 ≤ 30
3 X1 + 2 X2 ≤ 9
X1 + X2 ≥ 4
X1, X2 ≥ 0
|
7) (MIN) Z = 3 X1 + 7 X2
s.a.
X1 + X2 ≥ 4
10 X1 + 2 X2 ≤ 10
2 X1 + X2 ≥ 2
X1, X2 ≥ 0
|
8) (MIN) Z = 20 X1 + 4X2
s.a.
5 X1 - 4 X2 ≤ 14
X1 - 4X2 ≤ -2
2 X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
|
9) (MAX) Z = 2 X1 + 12 X2
s.a.
X1 - 4 X2 ≥ -2
-2 X1 - X2 ≤ 5
2 X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
|
10) (MIN) Z = 20 X1 + 50 X2
s.a.
2 X1 - X2 ≤ 0
X1 + 4 X2 ≥ 80
0,9 X1 + 0,8 X2 ≤ 40
X1, X2 ≥ 0
|
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROF. JOSÉ VILLALOBOS
|
RESOLUCIÓN DEL PROGRAMA LINEAL
|
Resolver aplicando el método gráfico:
a) Grafique rectas
b) Grafique restricciones
c) Identifique el área de solución factible
d) Determine el punto óptimo
e) Calcule la solución
|
11(MIN) Z = 4 X1 + 6X2
s.a.
5 X1 + X2 ≤ 15
X1 + X2 ≥ 4
2X1 + 2X2 ≤ 10
X1, X2 ≥ 0
| |
12(MAX) Z = 4 X1 + 2 X2
s.a.
X1 + X2 ≤ 4
2 X1 + 3 X2 ≤ 12
0.5X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
|
13(MIN) Z = 4 X1 + 5 X2
s.a.
6 X1 - 2 X2 ≥ 3
-2 X1 + 3 X2 ≤ 6
2 X1 + 3 X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
|
14(MAX) Z = 5 X1 + 8 X2
s.a.
X1 - 2 X2 ≤ 3
5 X1 + 4 X2 ≤ 20
4 X1 + X2 ≥ 8
X1, X2 ≥ 0
|
15(MAX) Z = 8 X1 + 2 X2
s.a.
X1 + 1 X2 ≥ 2
X1 + X2 ≤ 5
3 X1 + 9 X2 ≥ 12
X1, X2 ≥ 0
|
16(MAX) Z = 3X1 + 4X2
s.a.
3 X1 - 5 X2 ≤ 30
3 X1 + 2 X2 ≤ 9
2 X1 -- X2 ≥ 2
X1, X2 ≥ 0
|
17(MAX) Z = 7 X1 + 3 X2
s.a.
X1 + X2 ≤ 6
5 X1 + X2 ≥ 5
2 X1 - X2 ≥ 4
X1, X2 ≥ 0
|
18(MAX) Z = 10 X1 + 8X2
s.a.
5 X1` - 4 X2 ≤ 14
- X1 + 4X2 ≥ 2
2 X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
|
19(MAX) Z = 2 X1 + 12 X2
s.a.
X1 - 4 X2 ≥ -2
2 X1 - X2 ≤ 5
X1 + X2 ≥ 3
X1, X2 ≥ 0
|
20(MAX) Z = 20 X1 + 50 X2
s.a.
X1 - 2 X2 ≤ 0
X1 + 4 X2 ≥ 80
0,9 X1 + 0,8 X2 ≤ 40
X1, X2 ≥ 0
|
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